ЧЕЛЯБИНСКИЙ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

Изучаются новые нелокальные краевые задачи с интегро-дифференциальным граничным условием для нестационарных дифференциальных уравнений соболевского типа четвёртого порядка. Особенностью изучаемых задач является то, что в них в граничном условии содержатся производные как по пространственным переменным, так и по временн´ой переменной. Для исследуемых задач доказаны теоремы существования и единственности регулярных решений, имеющих все обобщённые по С. Л. Соболеву производные, входящие в соответствующее уравнение.

Исследуется нелокальная двухточечная краевая задача для импульсных систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с нелинейными условиями, включающими производные от неизвестной вектор-функции. Система дифференциальных уравнений содержит произведение двух нелинейных вектор-функций, для каждой из них выполняется условие Липшица. Доказываются существование, единственность и непрерывная зависимость решения по заданным функциям. Задача сводится к системе нелинейных функционально-интегральных уравнений в банаховом пространстве PC([0, T ], Rn). Метод последовательных приближений в комбинации с методом сжимающих отображений применён в доказательстве существования и единственности решения нелинейных систем функционально-интегральных уравнений.

Доказано существование единственного решения для нелокальных задач сопряжений в прямоугольной области для уравнения в частных производных 3-го порядка, когда при y > 0 уравнение характеристик имеет 3 кратных корня, а при y < 0 имеет 1 простой и 2 кратных корня. С помощью функции Грина и метода интегральных уравнений решение задач эквивалентным образом сводится к решению краевой задачи для следа искомой функции при y = 0, а затем - к решению интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода, разрешимость которого доказывается методом последовательных приближений. Решение задачи при y > 0 строится методом функции Грина, а при y < 0 - сведением задачи к двумерному интегральному уравнению Вольтерра 2-го рода.