Рассматривается вопрос об асимптотической устойчивости линейной непрерывнодискретной системы функционально-дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Такие системы состоят из двух подсистем: непрерывной и дискретной, и часто называются гибридными. Непрерывная подсистема представляет собой систему дифференциальных уравнений. Особенность рассматриваемой гибридной системы заключается в том, что её непрерывная часть представляет собой систему дифференциальных уравнений с сосредоточенным запаздыванием, в то время как в подавляющем большинстве работ рассматриваются такие гибридные системы, непрерывная часть которых представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Стандартный для последних подход изучения устойчивости – интегрирование на каждом конечном промежутке и построение матрицы монодромии. Однако этот подход, вообще говоря, неприменим к задаче исследования устойчивости гибридных систем, непрерывная часть которых представляет собой систему дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. В настоящей работе для исследования устойчивости гибридных систем применяется метод производящих функций совместно с анализом спектра оператора сдвига по траектории решения гибридной системы. Построение производящей функции для матрицы Коши и для фундаментального решения позволяет свести задачу асимптотической устойчивости гибридной системы к задаче исследования расположения корней некоторой функции в комплексной плоскости. Для этой функции естественно ввести термин «характеристическая функция гибридной системы», что и было сделано. Кроме того, доказано, что для данных гибридных систем асимптотическая устойчивость совпадает с равномерной экспоненциальной устойчивостью. Данный подход совместим с методом D-разбиения, что позволяет применять его для получения новых эффективных коэффициентных признаков асимптотической устойчивости гибридных систем: в частности, для построения области устойчивости. В настоящей статье построен новый простой необходимый признак асимптотической устойчивости гибридной системы, который сводится к проверке двух элементарных числовых неравенств
Исследована устойчивость по начальной функции линейного автономного функционально-дифференциального уравнения нейтрального типа. Анализируется устойчивость по Ляпунову, асимптотическая и сильная асимптотическая, а также экспоненциальная устойчивость уравнения и их взаимосвязь. Определения всех типов устойчивости формулируются в терминах функции Коши - функции, позволяющей в явном виде записать общее решение уравнения. Основное внимание уделено исследованию устойчивости по начальной функции из пространств суммируемых функций. Используется известное представление решения функционально-дифференциального уравнения с помощью интегрального оператора, ядром которого является функция Коши. Вопросы устойчивости исследуются для уравнения с кратным запаздыванием при производной и распределенным запаздыванием при неизвестной функции. Показано, что для такого уравнения сохраняются все свойства, ранее доказанные для уравнения с кратным запаздыванием при неизвестной функции. А именно показано, что сильная асимптотическая устойчивость рассматриваемого уравнения с начальной функцией из пространства L 1 эквивалента экспоненциальной оценки функции Коши, кроме того, из любого из этих свойств следует экспоненциальная устойчивость по начальной функции в любом из пространств L p при 1≤p≤∞. При этом, как и для уравнения с кратными запаздываниями, сильная асимптотическая устойчивость в пространстве L p для некоторого p>1 может не быть равносильной экспоненциальной устойчивости.