SCI Библиотека

Характерной чертой современной математики является изучение математических объектов, вместе с отображениями этих объектов друг в друга, согласованными со структурой объектов. Обычно объекты и их отображения образуют категорию. Именно поэтому теоретико-категорный язык с момента своего появления стал модным средством выражения результатов математических исследований, тем более, что само рождение теории категорий связано с бурным развитием идей и методов гомологической алгебры.

За последние годы за рубежом появилось несколько монографий, содержащих систематическое изложение основ теории категорий и некоторых ее достижений, относящихся, как правило, к абелевым категориям. Некоторые результаты, относящиеся к абелевым категориям, можно найти в книгах А. Гротендика [3], А. Картана и С. Эйленберга [4], С. Маклейна [10], переведённых на русский язык. В этих книгах категорией пользуются как вспомогательный аппарат для гомологической алгебры. Интересное и глубокое изложение теории абелевых категорий можно найти в книгах П. Фрейда [13], Б. Митчела [11] и П. Габриэля [2].

Известный американский математик М. Холл уже знаком советскому читателю по изданным в русском переводе книгам — «Теория групп» (ИЛ, 1962) и «Комбинаторный анализ» (ИЛ, 1963). Настоящая книга является наиболее полным изданием в области комбинаторного анализа.

Она состоит из трех основных частей: проблемы перечисления, теоремы выбора и связанные с ними вопросы и проблемы существования и построения блок-схем. Книга написана на высоком научном уровне и освещает самые новейшие достижения в области комбинаторики.

Она доступна весьма широкому кругу читателей и, несомненно, заинтересует математиков различных специальностей.

Авторы книги — известные польские математики, внесшие большой вклад в теорию множеств, топологию, математическую логику.

Книга содержит современное изложение общей теории множеств; изложение ведется на основе системы аксиом Цермело — Френкеля. Многочисленные примеры и упражнения удачно иллюстрируют применение теоретико-множественных методов в других областях математики, в первую очередь в алгебре и топологии. Заключительная глава книги служит введением в дескриптивную теорию множеств.

Высокие научные и методические достоинства книги делают ее весьма ценным учебным пособием по теории множеств. Она, несомненно, заинтересует студентов, аспирантов и научных работников различных математических специальностей.

В настоящее время интенсивно развивается конструктивное направление в математике, в частности, конструктивный математический анализ. Р. Л. Гудстейн является автором весьма интересного и своеобразного подхода к построению некоторых фрагментов конструктивного математического анализа.

Этот подход существенно отличается (как по общему замыслу, так и по характеру центральных понятий) от подходов, использованных другими математиками; он тесно связан с введенным Гудстейном исчислением равенств, представляющим собой аксиоматический фрагмент теории рекурсивных арифметических функций, обладающий рядом важных достоинств.

Аксиомы исчисления равенств и выводимые в этом исчислении объекты представляют собой формулы вида T₁ = T₂, где T₁ и T₂ — функциональные выражения (термы), составляемые обычным способом из натуральных чисел, предметных переменных (допустимыми значениями которых считают натуральные числа) и знаков примитивно рекурсивных функций *).

В Подмосковье насчитывается около 2000 рек и речек, более 350 озер и цепь больших водохранилищ — раздолье для любителей рыбной ловли! И не удивительно, что в любое время года, в любую погоду можно встретить человека с удочкой. «Великое племя рыболовов», по выражению Аркадия Гайдара, объединяет в своих секциях в спортивных обществах около 200000 любителей рыбной ловли Москвы и Московской области. Ведь ужение давно стало одним из наиболее полезных видов спорта и активного отдыха. На древних ассирийских плитах археологи нашли отнюдь не случайную надпись: «Боги не засчитывают в счет жизни время, проведенное на рыбной ловле». Итак, вы стали рыболовом. Но ведь вы не ветеран и не знаете, куда лучше всего отправиться на рыбалку, где и какая рыба водится и «на что берет». При входе в специализированный магазин у вас разбегаются глаза от множества удилищ разной длины, изобилия сверкающих блесен и крючков, мотков лесы разного цвета и толщины. Просто не знаешь, что купить для первого раза. Вот тут-то и придет начинающим рыболовам на помощь этот справочник, в котором читатель найдет подробное описание водоема, его рыбного богатства, проезда к нему. В книге приводятся адреса специализированных магазинов «Рыболов-спортсмен», полезные советы по экипировке, снаряжению, сохранению пойманной рыбы и приготовлению рыбных блюд.

«В народном хозяйстве СССР охотничье хозяйство, как отрасль социалистического хозяйства, занимает видное место. Оно связано не только с добычей пушнины и мяса диких птиц и зверей, но и с проведением плановых мер по увеличению численности диких птиц и зверей, являющихся достоянием государства. Охотничье хозяйство обеспечивает пушниной отечественную мехообрабатывающую промышленность страны. Советские меха на международном рынке занимают первое место в мире как по количеству, так и по качеству. Помимо пушнины, оно дает большое количество высококачественного мяса диких птиц и зверей.»

Автор сделал удачную попытку изложить основные положения K-теории в монографической форме. Первая часть книги покрывает материал известной книги Стинрода “Топология косых произведений” (ИЛ, 1953) в усовершенствованном, модернизированном и упрощенном виде. Эта часть может служить прекрасным введением в теорию расслоений для читателя, обладающего лишь элементарными познаниями в топологии.

Во второй, главной части книги, кроме основ K-теории, изложены теорема периодичности Ботта и теория операций Адамса, рассматриваются проблемы инварианта Хопфа и проблемы векторных полей на сферах.

Третья часть посвящена общей теории характеристических классов и ее применениям в топологии гладких многообразий.

Книга будет полезна студентам старших курсов университетов, аспирантам и всем математикам, интересующимся топологией и ее приложениями.

Изучение принципов творческой деятельности, закономерностей эвристических процессов мышления составляет одно из важных требований, выдвинутых современной наукой. Осуществление этого требования трудно представить без совместных усилий ученых, работающих в области методологии и логики научного познания, в кибернетике, психологии, педагогике и многих других отраслях науки.

Современные достижения формальной логики также открывают интересные перспективы применения точных методов в изучении определенных аспектов эвристической деятельности. Тем не менее нередко можно встретить противопоставление строго научно построенной доказательств эвристическим принципам, которые используются в отыскании формулировок будущих теорем, в выработке ideas доказательства и т. п.

В дореволюционной гимназии (а одно время — и в советской школе) преподавали логику. Логику часто определяют как «науку о законах правильного мышления». Предполагалось, очевидно, что неотъемлемым атрибутом зрелости, по достижении которой человеку выдается аттестат, является умение мыслить (и к тому же — правильно мыслить).

Против самого замысла возразить что-либо трудно, но на деле чаще всего получалось, что умение (или неумение) мыслить — само по себе, а «предмет», именуемый логикой, — сам по себе. Величайшее достижение античной науки — формальная логика Аристотеля оказывалась “если и можно называть, слишком классической, чтобы ее можно было легко приспособить к нуждам быстро развивающихся естественных наук, не говоря уже о чисто практических приложениях.”

Новая монография известного американского математика С. Ленга, уже знакомого советскому читателю по переводам его книг «Алгебраические числа», «Введение в теорию дифференцируемых многообразий» и «Алгебра»; несмотря на малый объем, она представляет собой весьма содержательное введение в теорию диофантовых приближений.

Книга несомненно заинтересует математиков различных специальностей. Она доступна аспирантам и студентам университетов и педагогических вузов и может привлечь внимание многих из них к увлекательным задачам теории диофантовых приближений.