Статистическое Исчисление изучает величины, принимающие разные значения с определенными вероятностями. Такие величины называются статистическими величинами.
Остановимся сначала на выяснении понятия вероятности, которое является одним из наиболее элементарных понятий Статистического Исчисления.
Вопрос о вероятности какого либо события E возникает тогда, когда с этим событием связано n различных случаев, или шансов: C₁, C₂,…, Cₙ при одних из которых событие E появляется, при всех же прочих — не появляется.
Совокупность условий, при которых вопрос о вероятности появления события получает определенное решение, называется испытанием. Для того, чтобы вероятность события E могла быть выражена в численном виде, необходимо, чтобы случаи (1) были единственно возможными, несовместимыми и равновозможными.
Если, например, даны случаи одни из возможных случаев, связанных с каким-либо событием, и по наступлению этих случаев вероятность других случаев не изменяется, — то эти случаи называются единственно возможными.
Книга Куранта-Гильберта «Методы математической физики» еще до своего появления на русском языке приобрела заслуженную популярность среди советских математиков и физиков. Ее выход в свет у нас является ценным вкладом в нашу математическую культуру.
Меньше всего она претендует на роль учебника: столь многообразный материал (линейная и квадратическая алгебра, теория интегральных уравнений, линейные дифференциальные уравнения, обыкновенные и в частных производных, основы вариационного исчисления, теории разложения, функциональные ряды и теория специальных классов функций) не может, при сохранении стиля учебника, уместиться в рамках одной книги. Она приближается скорее к типу монографии, в которой дается освещение различных математических теорий с новой точки зрения. Ценность книги прежде всего методологическая — читатель на классическом материале знакомится с теми методами, которые лежат в движении современных анализов.
В книге содержатся прекрасные образцы применения алгебраических, вариационных и теоретико-групповых идей в разрешении фундаментальных проблем анализа. Эти методы связаны в математической мысли всего с именем Д. Гильберта, крупнейшего математика ХХ в., руководителя знаменитой геттингенской школы. Фактически, книга Куранта, ставшего представителем современной науки за Р. Курант, ставя этой книгой в заглавии этот книг, подчеркивает ее связь с кругом идей Гильберта.
Этот курс дифференциальных уравнений представляет собой один из томов моего курса математики. Он подготовлен к печати в течение летних месяцев этого года, и появился в итоге моего довольно продолжительного изучения теории интегрирования дифференциальных уравнений, попыток ее дальнейшей разработки и стремления применить и известные, и полученные мною результаты к решению некоторых задач из области чистой и прикладной математики, а также из области инженерно-технических наук.
Только некоторые первые параграфы из первых глав этой книги представляют собой обработанный для печати материал из моих лекций студентам различных технических институтов, так как я меньше всего занимался преподаванием как раз именно теории дифференциальных уравнений; некоторые главы из середины книги отчасти являются переработкой того, что излагалось мною на лекциях аспирантам Научно-исследовательской кафедры математики в Киеве в 1928–1930 годах и аспирантам при Артиллерийской Академии РККА в Ленинграде в 1933 г.
Начиная с середины прошлого века заботы математиков направились к достижению абсолютной строгости в их работах. Эта тенденция привела к ряду изысканий, объединяемых одним общим именем теория функций действительного переменного. Несмотря на то, что образующие ее исследования крайне многочисленны и имеют в настоящее время даже свой собственный орган, они группируются около сравнительно небольшого числа идей.
И, сообразно этому, теория функций действительного переменного может быть разделена на три области: метрическую, дескриптивную и топологическую. Ввиду того, что топология послужит предметом специальной статьи, мы коснемся в настоящем обзоре лишь достижений, сделанных в последнее время первыми двумя областями.
Это первая уральская научно-популярная книга для детей и юношества, которая посвящена геологии Урала и советским успехам в изучении и использовании месторождений. Она была написана вскоре после начала широкомасштабной индустриализации Урала и Сибири, в ходе которой были воздвигнуты многие советские предприятия тяжелой промышленности. Книга в частности объясняет читателям, какими месторождениями богат Урал и для чего эти материалы используются. Ее автор, Александр Гаврилович Бармин (1900-1952) - детский писатель, основная тема творчества которого - история Урала и его горные богатства, мастера и изобретатели.
Изучение функций, определенных дифференциальным уравнением, во всей области их существования является задачей, полное разрешение которой невозможно при современном состоянии анализа. Однако, ограничившись изучением интегралов, бесконечно близких к уже известному интегралу, удалось получить чрезвычайно интересные результаты.
Именно таким путем А. Пуанкаре в своих замечательных работах, посвященных “Задаче о трех телах”, доказал существование бесконечного множества периодических решений и решений асимптотических к периодическим. Разыскание решений, бесконечно-близких к известному решению, привело его к системе линейных дифференциальных уравнений, которые он называет уравнениями в вариациях_; аналогичная система для уравнений с частными производными была ранее рассмотрена Г. Дарбу ** под названием _вспомогательной системы.
Результаты А. Пуанкаре были с тех пор использованы Пэнлеве *** и другими математиками при решении задачи чистого анализа, а именно при образовании дифференциальных уравнений с неподвижными критическими точками.
Из самого происхождения этого уравнения очевидно, что всякая функция, определяемая соотношением (1), удовлетворяет уравнению (3), каковы бы ни были значения, даваемые постоянным c. Соотношение (1) называется частным интегралом дифференциального уравнения (3). Совокупность этих частных интегралов называется общим интегралом того же уравнения.
Мнимым количеством, или комплексным количеством, называется всякое выражение вида a + bi, где a и b — какие-нибудь действительные числа, и i — особый символ, ввести который оказалось нужным, чтобы придать алгебре больше общности.
В сущности, на комплексное количество можно смотреть как на систему двух действительных количеств, взятых в определенном порядке. Хотя выражения вида a + bi и не имеют сами по себе никакого конкретного значения, тем не менее, условились применять к ним обыкновенные правила алгебраического вычисления при условии заменять повсюду выражение i² через -1.
Общие замечания. Выше (§ 5) мы имели общие условия сходимости ряда. На практике, для того чтобы узнать, является ли данный ряд сходящимся или расходящимся, всего чаще пользуются признаками менее общими, но зато более удобными для применения. Мы приведем из них лишь наиболее употребительные, которые оказываются достаточными для большинства приложений.
Сначала мы сделаем несколько замечаний, которые непосредственно выводятся из самого определения сходимости:
Книга Э. Гурса “Курс математического анализа” уже приобрела у русских читателей заслуженную известность и признание. По объему это руководство является одним из наиболее полных в современной мировой математической литературе; в то же время излагаемые факты выбраны не по принципу энциклопедичности; выбор проникнут одной руководящей мыслью — дать необходимый материал, на котором основывается разработка наиболее важных проблем современной науки.
Книга уже принесла большую пользу нашей университеской учащейся молодежи как пособие для углубления обычного курса анализа и для самообразования; можно смело сказать, что она много способствовала повышению уровня нашей математической культуры.