Исследуется однозначная разрешимость линейных обратных коэффициентных задач для эволюционного уравнения в банаховом пространстве с производной Капуто Фабрицио. Оператор при неизвестной функции в уравнении предполагается ограниченным, уравнение снабжено условием Коши. Для обратной задачи с постоянным неизвестным коэффициентом и с интегральным в смысле Римана Стилтьеса условием переопределения, включающим в себя условие финального переопределения как частный случай, получен критерий корректности. Достаточные условия однозначной разрешимости и оценка корректности на решение получены для линейной обратной задачи с зависящим от времени неизвестным коэффициентом. Полученные абстрактные результаты использованы при исследовании обратных задач с неизвестным коэффициентом, зависящим только от пространственных переменных или только от времени, для уравнений с многочленами от самосопряжённого эллиптического дифференциального оператора по пространственным переменным.