ЧЕЛЯБИНСКИЙ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
Архив статей журнала
Рассматривается некоторый класс систем нелинейных дифференциальных уравнений с бесконечным распределённым запаздыванием. Предполагается, что коэффициенты в линейных членах являются T -периодическими, нелинейное слагаемое является непрерывной, липшицевой по части переменных вектор-функцией и имеет порядок малости больше единицы. Такие системы дифференциальных уравнений возникают при моделировании различных процессов, возникающих в биологии, химии, физике, экономике. В работе предложен функционал Ляпунова - Красовского, на основе которого установлены достаточные условия экспоненциальной устойчивости нулевого решения рассматриваемого класса систем, указаны оценки на множество притяжения нулевого решения и оценки на норму решения начальной задачи, характеризующие экспоненциальное убывание на бесконечности. Все параметры, участвующие в оценках, указаны в явном виде. Установленные в работе условия экспоненциальной устойчивости нулевого решения выражены в терминах интегрального неравенства. Также получены условия глобальной экспоненциальной устойчивости нулевого решения.
Рассматривается модель динамики изолированной популяции, описываемая дифференциальным уравнением с запаздывающим аргументом. Изучается случай, когда в модели имеется не более двух положений равновесия, соответствующих полному вымиранию популяции и постоянной положительной численности популяции. Указаны условия на правую часть уравнения, при которых происходит стабилизация решений к положениям равновесия при произвольных неотрицательных начальных данных. Получены оценки скорости стабилизации в зависимости от коэффициентов уравнения, нелинейной функции, входящей в правую часть уравнения, и функции, заданной на начальном промежутке времени. Установленные оценки характеризуют скорость вымирания популяции и скорость стабилизации численности популяции к постоянной величине. Результаты получены с использованием функционалов Ляпунова - Красовского.
Рассмотрен класс нелинейных систем неавтономных дифференциальных уравнений с переменными сосредоточенным и распределённым запаздываниями, которые могут быть неограниченными. С помощью специального функционала Ляпунова - Красовского получены условия экспоненциальной устойчивости нулевого решения. Установлены оценки на множества притяжения и оценки, характеризующие скорость стабилизации решений на бесконечности.