Покрывающим кодом или покрытием называется множество кодовых слов, такое что объединение шаров с центрами в этих кодовых словах покрывает все пространство. Как правило, задача состоит в минимизации мощности покрывающего кода. Для классической метрики Хэмминга размер минимального покрывающего кода фиксированного радиуса R известен с точностью до постоянного множителя. Аналогичный результат был недавно получен для кодов с R вставками и кодов с R удалениями. В данной статье изучаются покрытия пространства для метрики Левенштейна фиксированной длины, т. е. для R вставок и R удалений. Для R = 1 и 2 доказываются новые нижние и верхние оценки минимальной мощности покрывающего кода, которые отличаются лишь в константу раз.
Идентификаторы и классификаторы
Покрывающие коды являются важным объектом в теории кодирования и дискретной математике. Они нашли применения в таких областях, как сжатие данных [1], схемная сложность[2], поиск ближайшего соседа [3], в различных задачах на решетках [4] и даже в футбольных тотализаторах [5]. Подробное описание этих приложений и многих других можно найти в книге [1].
Большинство работ о покрывающих кодах посвящено метрике Хэмминга, т. е. заменам. В последнее время резко возрос интерес к биологическим приложениям теории кодирования, в частности к хранению данных с помощью молекул ДНК (см. [6–8]). Известно, что в ДНК-хранилищах наряду с заменами распространены также вставки и удаления, что является мотивацией для изучения кодов, исправляющих такие ошибки.
Список литературы
1. Cohen G., Honkala I., Listyn S., Lobstein A. Covering Codes. Amsterdam: Elsevier, 1997.
2. Smolensky R. On Representations by Low-Degree Polynomials // Proc. 34th Annu. Symp. on Foundations of Computer Science. Palo Alto, CA, USA. Nov. 3-5, 1993. P. 130-138. DOI: 10.1109/SFCS.1993.366874
3. Pagh R. Locality-sensitive Hashing without False Negatives // Proc. 27th Annu. ACM-SIAM Symp. on Discrete Algorithms (SODA’2016). Arlington, VA, USA. Jan. 10-12, 2016. P. 1-9. DOI: 10.1137/1.9781611974331.ch1 EDN: WPDKNL
4. Micciancio D. Almost Perfect Lattices, the Covering Radius Problem, and Applications to Ajtai’s Connection Factor // SIAM J.Comput. 2004. V. 34. № 1. P. 118-169. DOI: 10.1137/S0097539703433511
5. Hämäläinen H., Honkala I., Litsyn S., Östergård P. Football Pools - A Game for Mathematicians // Amer. Math. Monthly. 1995. V. 102. № 7. P. 579-588. DOI: 10.2307/2974552
6. Ceze L., Nivala J., Strauss K. Molecular Digital Data Storage Using DNA // Nat. Rev. Genet. 2019. V. 20. № 8. P. 456-466. DOI: 10.1038/s41576-019-0125-3
7. Bornholt J., Lopez R., Carmean D.M., Ceze L., Seelig G., Strauss K. A DNA-Based Archival Storage System // Proc. 21st Int. Conf. on Architectural Support for Programming Languages and Operating Systems (ASPLOS’16). Atlanta, GA, USA. Apr. 2-6, 2016. P. 637-649. DOI: 10.1145/2872362.2872397
8. Church G.M., Gao Y., Kosuri S. Next-Generation Digital Information Storage in DNA // Science. 2012. V. 337. № 6102. P. 1628. DOI: 10.1126/science.1226355
9. Кабатянский Г.А., Панченко В.И. Упаковки и покрытия хэммингова пространства единичными шарами // Докл. АН СССР. 1988. Т. 303. № 3. С. 550-552. https://www.mathnet.ru/rus/dan7368.
10. Krivelevich M., Sudakov B., Vu V.H. Covering Codes with Improved Density // IEEE Trans. Inform. Theory. 2003. V. 49. № 7. P. 1812-1815. DOI: 10.1109/TIT.2003.813490
11. Lenz A., Rashtchian C., Siegel P.H., Yaakobi E. Covering Codes Using Insertions or Deletions // IEEE Trans. Inform. Theory. 2020. V. 67. № 6. P. 3376-3388. DOI: 10.1109/TIT.2020.2985691
12. Fazeli A., Vardy A., Yaakobi E. Generalized Sphere Packing Bound // IEEE Trans. Inform. Theory. 2015. V. 61. № 5. P. 2313-2334. DOI: 10.1109/TIT.2015.2413418
13. Applegate D., Rains E.M., Sloane N.J.A. On Asymmetric Coverings and Covering Numbers // J. Combin. Des. 2003. V. 11. № 3. P. 218-228. DOI: 10.1002/jcd.10022
14. Sala F., Dolecek L. Counting Sequences Obtained from the Synchronization Channel // Proc. 2013 IEEE Int. Symp. on Information Theory (ISIT’2013). Istanbul, Turkey. July 7-12, 2013. P. 2925-2929. DOI: 10.1109/ISIT.2013.6620761 EDN: SSOBBH
15. Hoeffding W. Probability Inequalities for Sums of Bounded Random Variables // J. Amer. Statist. Assoc. 1963. V. 58. № 301. P. 13-30. 10.2307/2282952. Reprinted in: The Collected Works of Wassily Hoeffding. New York: Springer, 1994. P. 409-426. DOI: 10.2307/2282952.Reprintedin
16. Wang G., Wang Q. On the Size Distribution of Levenshtein Balls with Radius One, arXiv: 2204.02201 [cs.IT], 2022.
17. He L., Ye M. The Size of Levenshtein Ball with Radius 2: Expectation and Concentration Bound // Proc. 2023 IEEE Int. Symp. on Information Theory (ISIT’2023). Taipei, Taiwan. June 25-30, 2023. P. 850-855. DOI: 10.1109/ISIT54713.2023.10206888
18. Cooper J.N., Ellis R.B., Kahng A.B. Asymmetric Binary Covering Codes // J. Combin. Theory Ser. A. 2002. V. 100. № 2. P. 232-249. DOI: 10.1006/jcta.2002.3290 EDN: BCSGFR
19. Левенштейн В.И. Двоичные коды с исправлением выпадений, вставок и замещений символов // Докл. АН СССР. 1965. Т. 163. № 4. С. 845-848. https://www.mathnet.ru/rus/dan31411.
20. Levenshtein V.I. E cient Reconstruction of Sequences from Their Subsequences or Supersequences // J. Combin. Theory Ser. A. 2001. V. 93. № 2. P. 310-332. DOI: 10.1006/jcta.2000.3081 EDN: LGUCJL
Выпуск
Другие статьи выпуска
Рассматриваются последовательности {An}+∞n=−∞ элементов произвольного поля F, удовлетворяющие разложениям вида Am+nAm−n=a1(m)b1(n)+a2(m)b2(n), Am+n+1Am−n=a˜1(m)b˜1(n)+a˜2(m)b˜2(n), где a1, a2, b1, b2: Z→F. Доказываются результаты о существовании и единственности таких последовательностей. Полученные результаты используются для построения аналогов криптографических алгоритмов Диффи - Хеллмана и Эль-Гамаля. Задача дискретного логарифмирования ставится в группе (S,+), где множество S состоит из четверок S(n)=(An−1, An, An+1, An+2), n∈Z, а S(n)+S(m)=S(n+m).
Модель сетевого графа является удобным инструментом для анализа сетей передачи информации, где возможность передачи в условиях атаки на объект можно описывать с помощью дробных критических графов, а уязвимость сети можно измерять с помощью варианта параметра изолированной жесткости. Рассматривается как устойчивость сети, так и реализуемость передачи данных при повреждении узлов, и определяется граница на вариант изолированной жесткости для дробных (a, b, n)-критических графов, где параметр n означает количество поврежденных узлов в определенный момент времени. С помощью контрпримера доказывается точность полученной границы на вариант изолированной жесткости. Основной теоретический вывод позволяет находить оптимальное соотношение между производительностью и стоимостью при проектировании топологии сети.
Рассматриваются процессы контактов на локально компактных сепарабельных метрических пространствах с неоднородными по пространству интенсивностями рождения и гибели. Формулируются условия на интенсивности, обеспечивающие существование инвариантных мер этих процессов. Одним из условий является так называемое условие критического режима. Для доказательства существования инвариантных мер использован подход, предложенный в предыдущей работе авторов. Подробно рассматривается маркированная модель контактов с компактным пространством марок (квазивидов), в которой интенсивности как рождения, так и гибели зависят от марок.
Рассматривается геометрический подход к понятию метрической энтропии. Обоснована возможность такого подхода для класса борелевских вероятностных инвариантных эргодических мер на софических системах, что является первым результатом такой общности для немарковских систем.
Представлены линейные предикторы и каузальные фильтры для дискретных сигналов, имеющих различные виды дегенерации спектра. Эти предикторы и фильтры основаны на аппроксимации идеальных некаузальных передаточных функций каузальными передаточными функциями, представленными многочленами от Z-преобразования дискретной функции Хевисайда.
Предложены каскадный и свитчинговый методы построения совершенных и диаметральных совершенных кодов, исправляющих одну ошибку, в метрике Ли. Рассмотрены ранги и ядра диаметральных совершенных кодов, полученных свитчинговой конструкцией.
Издательство
- Издательство
- ИППИ РАН
- Регион
- Россия, Москва
- Почтовый адрес
- Большой Каретный пер., 19, стр. 1
- Юр. адрес
- Большой Каретный пер., 19, стр. 1
- ФИО
- Соболевский Андрей Николаевич (Директор)
- E-mail адрес
- director@iitp.ru
- Контактный телефон
- +7 (495) 6504274
- Сайт
- http:/iitp.ru