Родословное дерево дифференциальной геометрии уходит своими корнями по меньшей мере столь же глубоко, как родословное дерево анализа бесконечно малых. Более того, в известной степени дифференциальная геометрия даже старше анализа. В самом деле, простейшие образы и понятия дифференциальной геометрии стали объектом точного математического знания раньше, чем понятия анализа выкристаллизовались даже в первичной своей форме. В книге собраны работы Гаспара Можна по дифференциальной геометрии.
Введение в анализ бесконечных“ Леонарда Эйлера считается наиболее значительным по своему историческому влиянию математическим трактатом нового времени. Эйлер дает во “Введении” первые и образцовые курсы двух дисциплин: собственно введения в анализ (понимая под этим изучение функций с помощью бесконечных процессов, обобщающих алгебраические) и аналитической геометрии. Содержание и значение творения Эйлера анализируется во вступительной статье.
Настоящий перевод сделан с французского издания 1768 г. При переводе „Анализа бесконечно малых“ было решено в соответствии с порядком издания всей серии классиков строго придерживаться подлинного текста. Все формулы поэтому точно передают оригинал. Это не могло не отразиться на стиле изложения, поневоле отступающего иногда от правильной речи, ибо формулы у Лопиталя нередко врываются в середину фразы самым неудобным для нас образом. Точно так же, за немногими исключениями, дословно передается и терминология автора.
В книгу включены задачи по алгебре, арифметике и анализу, относящиеся к школьной программе, но, в основном, несколько повышенного уровня по сравнению с обычными школьными задачами.
Есть также некоторое количество весьма трудных задач, предназначенных для учащихся математических классов. Сборник содержит более 1000 задач с полными решениями.
Для школьников, преподавателей математики, руководителей математических кружков, студентов пединститутов.
В книге рассматриваются основные положения численных методов, относящиеся к приближению функций, интегрированию, задачам алгебры и оптимизации, решению обыкновенных дифференциальных уравнений.
Значительное внимание уделяется вопросам выбора методов и организации вычислений при решении большого числа однотипных задач.
Книга предназначена для студентов университетов и технических вузов с расширенной программой по математике, специализирующихся по прикладной и вычислительной математике, а также для лиц, интересующихся теорией и практикой численных методов.
Эрмит является одним из знаменитейших математиков XIX столетия как по своему творчеству, так и по своей педагогической деятельности. В конце 1860 г. он читал курс Анализа в Политехнической школе. Тогда же был напечатан первый том этого курса, заключающий основы дифференциального и интегрального исчислений; вторая же часть курса, заключающая учение об определенных интегралах, теорию функций комплексного переменного, теорию эллиптических функций и учение об интегрировании дифференциальных уравнений, напечатана не была, имеется лишь в литографированном виде и составляет библиографическую редкость.
В Политехнической школе Эрмит читал курс Анализа в продолжение двух или четырех лет, главная же педагогическая деятельность его (свыше сорока лет) протекала в Парижском университете (Сорбонна).
Долгие годы Эрмит читал здесь свой знаменитый курс, хотя и названный им Cours d’Analyse, но в сущности представляющий курс Теории функций, на основах учения Вейерштраса, с присущую Эрмиту ясностью и оригинальностью изложения.
Гамма-функция Γ(z) впервые была определена Эйлером как предел произведения (§ 12.11), из которого можно получить интеграл: ∫₀⁺∞ tᶻ⁻¹ e⁻ᵗ dt, но для изложения теории этой функции удобнее определять ее посредством бесконечного произведения в канонической форме Вейерштрасса. Рассмотрим бесконечное произведение: z eᵞᶻ ∏ₙ₌₁ (1 + z/n)e⁻ᶻ/ⁿ, где γ = limₘ→∞ {1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/m - lg m} ≈ 0.5772157… (это константа Эйлера — Маскерони).
«Курс современного анализа» Уиттекера и Ватсона выдержал за рубежом несколько изданий. Начиная с четвертого издания (1927 г.) зарубежные издания стали стереотипными. Первое русское издание вышло в 1933—1934 гг. под редакцией Г. М. Голузина. Второе русское издание, предлагаемое сейчас читателю, еще раз сверено с английскими изданиями. В нем устранены замеченные опечатки, произведена незначительная модернизация терминологии и добавлены некоторые ссылки. В остальном оно сохранило стиль английской школы классического комплексного анализа (Бромвич, Барнс, Бэйли, Харди и Литлвуд, Титчмарш), с которой советский читатель знаком теперь по многочисленным переводам.
Книга разделена на две части. Первая из них содержит изложение основных вопросов комплексного анализа. Вторая часть посвящена главным образом изучению различных классов специальных функций. Хотя за тридцать лет, прошедшие с выхода первого русского издания, появилось много книг и работ по специальным функциям (например, справочник Эрдэя, Магнуса, Обереттингера и Трикони Higher transcendental functions, тт. I—III), книга Уиттекера и Ватсона остается непревзойденной по широте охвата и четкости комплексной («современной») точки зрения на специальные функции.
Задачи книги ясно изложены автором; она может быть интересна преподавателям и изучающим высшую математику, желающим глубже познакомиться с ее логическими основами. Несколько позднее Э. Ландау, вынужденный, как еврей, эмигрировать из Германии, издал в Голландии учебник дифференциального и интегрального исчисления, отвечающий его повышенным требованиям к математической строгости изложения.
Учебник этот будет издан Госиздоном. Настоящая книга должна рассматриваться как необходимая вводная часть этого учебника.
Автор этой книги — Жан Дьедонне — выдающийся французский аналитик, один из вдохновителей и активных членов известной группы Бурбаки. Формально от читателя требуется лишь знание «первых правил математической логики» и элементарной линейной алгебры. На самом же деле книга рассчитана на тех, кто уже знаком с основами математического анализа и хочет взглянуть на известные факты с новой точки зрения.
Характерной чертой книги является строгий аксиоматический подход и систематическое использование понятия векторного пространства. Автор умышленно не пользуется чертежами, однако его изложение в высшей степени геометрично.
Стремясь сделать книгу цельной и доступной для изучения в пределах одного академического года, Дьедонне очень строго отбирал материал. При этом его подход отличается от принятого у нас. Так, он не включает понятие меры и интеграла Лебега, но зато изложил общие факты теории функций, братья разностороннее и интересное задачи. В книге со вкусом подобраны разнообразные задачи.
Эту оригинальную книгу с интересом прочтут не только студенты старших курсов университетов и аспиранты (которым она непосредственно предназначена), но и лица, желающие углубить свои познания в современном математическом анализе.
