Выпускаемое в настоящем издании небольшое сочинение Лобачевского “Геометрические исследования по теории параллельных линий” принадлежит к числу последних его геометрических работ.
Чтобы читатель мог вполне оценить это произведение, являющееся одним из наиболее блестящих перлов математической литературы, нужно выяснить то место, которое оно занимает среди творений великого геометра. Этому и посвящены две статьи, которые мы предпосылаем тексту Лобачевского.
Эта книжка познакомит читателя с понятием площади ориентированной фигуры и его применениям к теории планиметра и к выводу целесообразной формулы для вычисления площади участка, заданного на местности и ограниченного произвольной замкнутой ломаной линией.
Понятие ориентированной площади может быть использовано, как в этом убедится читатель, и для решения задач школьной геометрии.
В основу книжки положен материал лекций, читанных мной школьникам старших классов.
Решая геометрическую задачу, полезно представлять себе, что будет происходить с элементами рассматриваемой фигуры, если некоторые ее точки начнут двигаться. Зависимость одних элементов от других может стать при этом наглядно очевидной, и решение задачи бросится в глаза.
Связи между величинами отрезков, углов и т. п. в геометрических фигурах обычно являются более сложными, чем связи между скоростями изменения этих величин в процессах деформации фигур. Поэтому для решения геометрических задач может быть полезной «теория скоростей» — кинематика.
В этой брошюре на нескольких примерах демонстрируется применение кинематики к задачам элементарной геометрии и приводится некоторое количество задач для самостоятельного упражнения. Необходимые общие сведения из кинематики (и векторной алгебры) излагаются предварительно.
Брошюра написана на основе лекций, прочитанных в школьном математическом кружке при Харьковском государственном университете им. А. М. Горького. Она рассчитана на учащихся 9—10 классов.
Эта небольшая книжка, написанная известным немецким популяризатором математики, недавно скончавшимся профессором Геттингенского университета Вальтером Литцманом, посвящена не только геометрии, как можно было бы подумать по ее названию. Автор собрал в ней довольно разнообразный материал, относящийся и к геометрии, и к алгебре, и к арифметике.
Весь этот материал группируется вокруг знаменитой ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА, одной из замечательнейших теорем школьного курса математики. При этом автор, естественно, не касается серьезных научных проблем, связанных с этой теоремой; почти не затрагивает он и чисто методических вопросов, лишь слегка критикуя традиционное доказательство теоремы Пифагора, приводимое почти во всех школьных учебниках.
Однако и ограничив таким образом рамки своей книги, Литцман сумел найти достаточно занимательного материала, способного заинтересовать начинающего математика.
Еще одна книга о круге, притом об его элементарных свойствах… Не слишком ли это смело и нужно ли это вообще?
Ведь начиная с евклидовых «Начал» (300 лет до н. э.) изложение теории круга как по содержанию, так и по выбору способов доказательства теорем в бесчисленных учебниках всех времен и народов было настолько исчерпывающим, что кажется ни одного нового слова сюда добавить уже нельзя.
«МАТЕМАТИК, ТАК ЖЕ КАК ХУДОЖНИК ИЛИ ПОЭТ, СОЗДАЕТ УЗОРЫ, И ЕСЛИ ЕГО УЗОРЫ БОЛЕЕ УСТОЙЧИВЫ, ТО ЛИШЬ ПОТОМУ, ЧТО ОНИ СОСТАВЛЕНЫ ИЗ ИДЕЙ» — в книге «Апология математики», изданной в Кембридже, эти слова не относятся, конечно, к такой малой части, как геометрические мозаики.
Но, право же, и в этих узорах есть своя идея, не лишенная ни красоты, ни глубины. В сущности, мы живем среди мозаик. Кирпичная кладка домов, паркет в них, стены в ванной комнате — все это они: одни и те же фигуры раз за разом повторяют сами себя — одна к одной, сплошняком. Гравюры М. К. Эшера «Всадники», «Лебеди», «Восемь голов», «Мозаика II», а также многие другие из его работ тоже представляют собой плоскость, полностью, без «зазоров» покрытую фигурами, которые в то же время не налезают друг на друга.
Это и есть то, что геометр называет мозаикой. А с точки зрения просто обычная, математическая мозаика — это выкройка без потерь. Впрочем, мозаичный узор — еще и искусство.
Книга Гарри Линдгрена продолжает серию книг по занимательной математике, начатую издательством в 1971 г. книгами М. Гарднера, и посвящена одному из увлекательнейших ее разделов — задачам на разрезание.
Автор знакомит читателя с общими принципами того, как из одной заданной фигуры составить другую, разрезав первую на минимальное число частей, и при этом оставляет широкие возможности для самостоятельных поисков решений.
Книга рассчитана на самые широкие круги читателей.
Данный сборник задач предназначается учителям и учащимся школ (классов) физико-математического направления. В нем предоставлены задачи по курсу планиметрии VII–IX классов, относящиеся к геометрии треугольника.
В сборнике приводятся как классические задачи, так и задачи, составленные в последнее время, при этом предпочтение отдавалось теоремам и задачам на доказательство, результаты которых часто используются при решении других задач. При составлении сборника использовались журналы “Квант” и “Математика в школе” за последние годы, а также задачники и пособия, приведенные в списке литературы в конце сборника, часть задач составлена авторами.
При ссылках на задачи сборника принята двойная нумерация, где первая цифра обозначает номер параграфа, а вторая — номер задачи в этом параграфе (например, 4. II — задача II § 4). Если ссылка дается на задачу этого же параграфа, то этот номер опускается. Некоторые задачи приведены в разных параграфах, к ним даны различные решения.
В геометрии известна замечательная теорема венгерского математика Фаркаша Больяи: если два многоугольника равновелики (т. е. имеют равные площади), то всегда возможно один из них расселить на конечное число таких многоугольников, из которых может быть составлен второй*).
Это значит, что если взять, например, квадрат, то без всякой потери площади его можно превратить в правильный пятиугольник или правильный шестиугольник, в один или несколько равносторонних треугольников и т. д. Такое перекраивание квадрата в другую фигуру может быть осуществлено не единственным способом, но потребуется проявить большую находчивость и изобретательность, чтобы найти хотя бы один подходящий способ.
Брошюра посвящена описанию и исследованию геометрических построений с помощью одного лишь циркуля; написана она на основе лекций, которые автор в течение ряда лет читал для школьников, принимавших участие в математических олимпиадах в г. Львове.
Книжка представляет интерес для преподавателей математики и учащихся старших классов средней школы.
