Учебное пособие предназначается студентам и преподавателям 1-го и 2-го курсов математических факультетов университетов. В основе лежит курс лекций, читаемый автором в Новосибирском государственном университете.
Пособие содержит все определения, формулировки и доказательства теорем, поясняющие примеры и упражнения. У читателя предполагается наличие некоторого опыта изучения теории функций одной переменной.
Учебное пособие предназначено студентам 1@-го курса математических факультетов университетов, а также всем желающим углубить свои познания в математическом анализе и несколько расширить свой кругозор.
Третье издание отличается от первого лишь немногочисленными изменениями. Самое существенное из них состоит в том, что я вычеркнул «принцип индукции» из числа основных лемм, вследствие чего все опиравшиеся на этот принцип доказательства пришлось заменить другими. Я надеюсь, что для большинства читателей я этим облегчил усвоение книги, так как мне представляется, что этот принцип и опиравшиеся на него рассуждения предъявляли читателю в отношении логической культуры требования несколько более высокие, чем это вообще принято в настоящей книге.
Из других изменений заслуживают быть отмеченными только новая трактовка формулы Тейлора и параграфа о функциях с ограниченным изменением.
Цель настоящего пособия — помочь студенту-заочнику педагогического института овладеть приемами и методами решения задач при самостоятельном изучении курса математического анализа (разделов «Ряды» и «Дифференциальные уравнения»).
Пособие написано в соответствии с программой специальности «математика», однако им могут воспользоваться и студенты специальности «физика» (в разделе «Ряды» для них написан параграф «Ряды Фурье»).
Книга содержит больше ста решенных типовых примеров и задач, а также задачи для самостоятельного решения.
Прежде чем приступать к самостоятельному решению задач, необходимо по одному из учебников изучить соответствующий теоретический материал (в начале каждого параграфа настоящего пособия даются такие указания со ссылкой на главу, параграф и пункт учебника). Затем следует внимательно (с карандашом в руках) разобрать примеры решения типовых задач, после чего выписать все задачи, предназначенные для самостоятельного решения.
Краткий курс математического анализа должен, по замыслу автора, служить студентам механико-математических и физико-математических факультетов наших университетов (а в известной мере и пединститутов) основным руководством при изучении той научной дисциплины, которая в учебных планах именуется «математическим анализом».
Он содержит в себе теорию пределов и бесконечных рядов, элементы дифференциального и интегрального исчислений, а также простейшие приложения этих учений. Необходимость в таком руководстве вызвана тем, что существующие у нас сейчас учебники математического анализа в большом количестве не всегда полностью отвечают указанному назначению. Многие из них, доступные рядовому студенту, либо устарели, либо базируются на недостаточном для специалиста-математика научном фундаменте.
В то же время те учебники, которые основаны на современном уровне, зачастую представляют собой громоздкие работы, чья структура и объем выходят за рамки доступного для обычного студента I–II курсов материала. Задача курса – восполнить этот пробел, обеспечивая компактное изложение с учетом действующих образовательных стандартов.
Известно, что в условиях втуза начальные сведения о дифференциальных уравнениях могут потребоваться студенту очень рано. К такого рода сведениям, думаю, относится содержание главы XXIV и §§ 1—7 главы XXV настоящего тома. Изложение этих мест курса основывается лишь на материале первого тома и, как показывает опыт, вполне доступно студенту второго семестра.
На первом томе основываются и §§ 8—13 главы XXV. Однако соответствующий материал труднее и его лучше отнести дальше.
Изложение кратных интегралов, интегралов по поверхности, криволинейных интегралов первого рода ведется с общих позиций функций области (как и в ранее изданном моем курсе, но изложение, думается, удалось несколько усовершенствовать).
Как и в I томе, материал, который в условиях втуза можно опустить (более или менее бесспорно), выделен мелким шрифтом.
Настоящий курс «Элементы математического анализа» представляет собой несколько сокращённый и в значительной части переработанный вариант моего «Курса математического анализа», изданного Физматгизом в 1954—1957 гг. Этот вариант рассчитан на высшие технические учебные заведения, в которых к математической подготовке предъявляются достаточно высокие требования, и приспособлен к ныне действующей программе (460 часов) Министерства высшего и среднего специального образования СССР.
Я стремился также сделать курс пригодным для заочного обучения, для чего изложение старался вести достаточно обстоятельно и в то же время достаточно сжато (чтобы главное не тонуло в неглавном), теорию снабдил весьма большим числом разобранных иллюстрирующих примеров и поясняющих чертежей.
В настоящем варианте курс математического анализа фактически не раз читался и неплохо усваивался студентами, и в том числе заочниками. Изложение ведётся, думаю, достаточно строго, но без излишеств. То, что доказывается, доказывается более или менее строго. Ряд доказательств в соответствии со вкусами порой опущен, фактически вводимые доказательства, связанных, так сказать, с «ловкостью рук», не допускаю. На готовых уже и много менее местах материал, который в усвоении требует более или менее конечно можно опустить, выделен мелким шрифтом.
Настоящий выпуск задачника-практикума составлен применительно к учебнику Г. М. Фихтенгольца “Основы математического анализа”, том I. Цель его — научить студента-заочника технике интегрирования и умению решать различные задачи на приложения определенных интегралов.
При составлении задачника-практикума мы прежде всего исходили из учета тех довольно больших трудностей, с которыми встречаются многие студенты-заочники при изучении курса математического анализа. Основная из этих трудностей состоит в том, что изучающий заочно высшую математику, как правило, лишен возможности систематически получать устную консультацию преподавателя. Мы больше всего старались предвидеть те “трудные места”, которые могут встретиться студенту на пути овладения методами интегрирования, очень осторожно подходили к подбору задач, к постепенному повышению их трудности.
Особенно нелегко было выбрать задачи, к которым следует дать подробные решения. В самом деле, каждая решенная задача должна содержать некоторые новые элементы, с которыми студент до сих пор еще не встречался, причем таких новых элементов должно быть в задаче не очень много. Кроме того, все решенные типичные задачи в том числе иностраны должны обесцвечивать студенту возможность самостоятельно задуматься и сотрудничать со всеми задачами, предлагаемыми для самостоятельного решения.
Книга представляет собой современный курс математического анализа, написанный известным американским ученым. По стилю и содержанию она отличается от имеющихся традиционных курсов. Помимо обычно включаемого материала, книга содержит основы теории метрических пространств, теорию интегрирования дифференциальных форм на поверхностях, теорию интеграла и т. д.
В конце каждой главы приводятся удачно подобранные упражнения (общим числом около 200). Среди них есть как простые примеры, иллюстрирующие теорию, так и трудные задачи, существенно дополняющие основной текст книги.
Книга У. Рудина может служить учебным пособием для студентов математических и физических факультетов университетов, педагогических институтов и некоторых вузов. Она будет полезна студентам и преподавателям этих учебных заведений, а также инженерам, желающим расширить свои знания по математическому анализу.
Заочники первого года обучения встречают большие затруднения при изучении первой части математического анализа. Во введении в анализ в большом количестве даются весьма важные основные понятия математического анализа. Успех изучения математического анализа на старших курсах в большой степени зависит от того, как усвоены студентом эти понятия.
На первом курсе у студента нет необходимых навыков самостоятельной работы, а потому изучение этой части курса часто сводится к заучиванию определений. В итоге студент знает формулировки, но не понимает их. Контрольная работа должна оказать помощь студенту в его самостоятельной работе. Изложенные варианты контрольных работ составлены так, что в них включены задачи, связанные с основными понятиями анализа.
В ряде задач предлагается студенту самостоятельно сконструировать примеры, связанные с определенными понятиями. Эта группа задач должна способствовать сознательному усвоению этих понятий.
