Настоящие очерки только отмечают отдельные вехи развития теории аналитических функций и ни в какой мере не претендуют на полноту. Мы старались в меру сил и имеющихся у нас сведений указывать роль отечественных учёных в развитии теории аналитических функций. Подойдя к советской эпохе, мы встретились с таким разнообразием фактов и идей, что были вынуждены отказаться от сколько-нибудь подробного их рассмотрения и ограничились характеристикой некоторых из направлений научной работы, упоминая лишь немногие имена.
За всеми подробностями, относящимися к успехам теории функций в СССР, мы отсылаем читателя к обзорной статье А. Ф. Берманта и А. И. Маркушевича в сборнике «Математика в СССР за 30 лет», Гостехиздат, 1948. При составлении очерков I и II нами использован текст §§ 4 и 6 «Введения» к нашей книге «Элементы теории аналитических функций» (Учпедгиз, 1944).
Выражаю искреннюю признательность редактору этой книги Б. В. Шабату, написавшему по моей просьбе пункты 5.3 и 5.7, В. В. Гуссову, автору исследований по истории специальных функций в России, сообщившему мне некоторые ценные сведения, а также А. Ф. Берманту и В. Л. Гончарову, прочитавшим рукопись очерков и сделавшим ряд существенных критических замечаний.
Эта книжка знакомит читателя с комплексными числами и простейшими функциями от них (включая функцию Н. Е. Жуковского с применением к построению профиля крыла самолёта). Изложению придана геометрическая форма.
Комплексные числа рассматриваются как направленные отрезки, а функции — как отображения. Чтобы привести читателя к такому пониманию комплексных чисел, мы начинаем с геометрического истолкования действительных чисел и действий над ними.
В основу книжки положена лекция, читанная автором для школьников 9-го и 10-го классов. Предварительного знакомства с комплексными числами от читателя не требуется.
Настоящий перевод сделан с французского издания 1768 г. При переводе “Анализа бесконечно малых” было решено в соответствии с порядком издания всей серии классиков строго придерживаться подлинного текста.
Все формулы поэтому точно передают оригинал. Это не могло не отразиться на стиле изложения, поневоле отступающего иногда от правильной речи, ибо формулы у Лопиталя нередко врываются в середину фразы самым неудобным для нас образом. Точно так же, за немногими исключениями, дословно передается и терминология автора.
В этой брошюре содержится расширенное изложение лекции, читанной автором для школьников IX и X классов — участников Московской математической олимпиады, а затем — в несколько изменённом виде — в Московском институте усовершенствования учителей.
Тема «Возвратные последовательности» близка к школьному курсу (арифметические и геометрические прогрессии, последовательность квадратов натуральных чисел, последовательности коэффициентов частного многочленов, расположенных по возрастающим степеням, и т. п.). Вместе с тем это настоящая маленькая математическая теория*, законченная, простая, ясная, как и всё то, что вышло из рук крупнейших мастеров математического анализа, создавших эту теорию.
Это книга предлагает отправиться в необычное путешествие. Вступив на тропу у дворцового комплекса Альгамбра, читатель совершит переход через несколько столетий и приблизится к одному из современных разделов математики.
Одна из привлекательных особенностей математики состоит в том, что в процессе решения различных задач из областей, на первый взгляд не связанных между собой, часто возникают совершенно аналогичные понятия, идеи и методы. Это удивительное единство авторы попытались продемонстрировать на примере элементарной теории групп преобразований.
Настоящий выпуск серии «Библиотечка физико-математической школы» посвящен понятию предела, которое справедливо считается самым трудным в школьной программе. Тем более трудно освоиться с этим понятием самостоятельно, по книжке.
Однако, как показывает опыт Заочной математической школы при МГУ, большинство школьников могут справиться с этой задачей.
Книжка написана в форме задачника, но она может одновременно служить и учебником по теме «Пределы».
Предлагаемые здесь задачи можно разбить на три группы. Задачи первой группы (они никак не отмечены) составляют основу всей книжки. Решение их необходимо для понимания основных определений и теорем. Задачи второй группы (они отмечены кружком) не являются обязательными. Некоторые из них служат для иллюстрации различных теорем, другие полезны для развития и тренировки логического мышления, третьи — просто красивые задачи, решение которых доставит вам удовольствие. Наконец, третью группу составляют более трудные задачи (они отмечены звездочкой). Эти задачи рассчитаны на более высокую логическую подготовку и свободное владение основными понятиями.
Настоящая книга представляет собой введение в математический анализ. Наряду с изложением начал аналитической геометрии и математического анализа (дифференциального и интегрального исчисления) книга содержит понятия о степенных и тригонометрических рядах и о простейших дифференциальных уравнениях, а также затрагивает ряд разделов и тем из физики (механика и теория колебаний, теория электрических цепей, радиоактивный распад, лазеры и др.).
Книга рассчитана на читателей, интересующихся естественнонаучными приложениями высшей математики, преподавателей вузов и втузов, а также будущих физиков и инженеров.
4/15 апреля 1707 г. в Базеле у сельского пастора Павла Эйлера родился сын, получивший имя Леонард, которому было суждено стать одним из величайших математиков, когда-либо бывших.
Детство он провел в селении Риэн, приходе своего отца, и от отца же получил первоначальное образование.
Его отец, сам бывший ученик Якова Бернулли, ценил и знал математику и обучал ей и своего сына, хотя предназначал его к духовному званию.
После домашнего воспитания юный Леонард был отправлен в Базель, чтобы пройти курс старших, так называемых философских классов тогдашней гимназии или семинарии, между которыми существенной разницы не было.
Издавая нынѣ книгу: Résumé des leçons sur le calcul infinitésimal, соч. Коши, переведенную мною на Русскій языкъ нѣсколько лѣтъ тому назадъ, я имѣлъ въ виду познакомить моихъ соотечественниковъ съ произведеніемъ автора, коего труды на ученомъ поприщѣ уже ознаменованы важными открытіями въ Анализѣ. Г. Коши въ изложеніи правилъ дифференціальнаго и интегральнаго исчисленія уклоняется отъ способовъ предшествовавшихъ ему писателей, и почти всегда преимущество остается на его сторонѣ. По сей-то причинѣ, да будетъ мнѣ дозволено изъявить желаніе, чтобъ сей переводъ былъ принятъ за руководство въ Учебныхъ Заведеніяхъ.
Я знаю, что Г. Коши издалъ новѣйшее сочиненіе о дифференціальномъ исчисленіи; но въ составъ онаго вовсе не входитъ интегральное. Я было намѣревался поручить кому-либо перевести подъ моимъ руководствомъ сію книгу и замѣнить первые 20 уроковъ симъ новымъ переводомъ. Но дабы оный могъ вполнѣ соотвѣтствовать интегральному исчисленію, надлежало бы сдѣлать значительныя измѣненія въ текстѣ сочинителя, что, по моему мнѣнію, переводчикъ не долженъ дозволить себѣ ни въ какомъ случаѣ. Къ тому же, сіе новое сочиненіе не содержитъ въ себѣ никакихъ значительныхъ улучшеній противъ перваго.
Настоящее пособие является второй книгой факультатива «Решение задач» (см.: Ш а р ы г и н И. Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб. пособие для 10 кл. сред. шк.— М.: Просвещение, 1989), формальная цель которого — подготовить выпускника средней школы к сдаче конкурсного экзамена по математике и продолжению образования в вузах, где дисциплины математического цикла относятся к числу ведущих, профилирующих.
Эта декларируемая цель скрывает, маскирует целый ряд других, возможно, более социально значимых целей. Главное — математическое развитие. Поэтому стоит напомнить совет, данный читателю в предисловии к первой книге. Не следует заранее ограничивать себя сверху каким-либо определенным уровнем. Чем глубже изучите вы предлагаемый материал, чем дальше продвинетесь по цепочке задач внутри каждого параграфа, а задачи эти расположены в основном по возрастанию сложности, тем лучше.
