SCI Библиотека

Книга содержит работы по теории конечных групп, выполненные участниками Гомельского алгебраического семинара при Институте математики АН БССР.

В ней отражены направления, в которых ведет свои исследования советская школа теории конечных групп: существование и вложение подгрупп, факторизация конечных групп, характеристика некоторых классов групп в зависимости от наличия у них подгрупп с определенными свойствами (недостижимость, существование комплектов и др.), существование инвариантных дополнений.

Предназначена для научных работников, аспирантов и студентов физико-математических факультетов университетов и педагогических институтов, интересующихся современной алгеброй.

В различных разделах математики, например, в теории проективных плоскостей, неассоциативных тел, в ряде вопросов комбинаторного анализа и теории функциональных уравнений и т. п., возникает необходимость изучения одного естественного обобщения понятия группы, а именно квазигруппы.

Толчком к развитию теории квазигрупп послужили работы Р. Муфанга (1935 г.) по незарубам проективным плоскостям, в которых выяснялась связь таких плоскостей с квазигруппами, точнее, лупами (т. е. квазигруппами с единицей), носящими теперь ее имя. За последние десятилетия теория квазигрупп и луп получила значительное развитие в работах различных математиков, причем в основном внимание акцентировалось на лупах. Р. Брак, ведущий специалист в этой области, посвятил исследованиям теории луп свой монографический «Обзор бинарных систем» (R. H. Bruck. A survey of binary systems. Springer Verlag, 1958).

Данное учебное пособие является частью курса лекций, которые автор на протяжении ряда лет читает на экономическом факультете Славянского университета РМ. Оно адресовано учащимся лицеев, колледжей и студентам нематематических факультетов университетов, изучающих линейную алгебру.

Подробное изложение рассматриваемого в пособии материала, детальное доказательство всех без исключения теорем, следствий и замечаний сопровождается большим количеством примеров, приводимых с решениями. Все это делает пособие доступным для понимания неподготовленным читателем. Для его чтения достаточно знания лишь элементарной математики.

Данное пособие предназначено для учащихся лицеев, колледжей и студентов нематематических факультетов университетов, изучающих линейную алгебру.

Подробное изложение рассматриваемого в пособии материала, детальное доказательство всех без исключения теорем, следствий и замечаний сопровождается большим количеством примеров, приводимых с решениями. Все это делает пособие доступным для понимания неподготовленным читателем. Для его чтения достаточно знания лишь элементарной математики.

Книга посвящена изложению теории матриц и ее приложениям к теории дифференциальных уравнений, математической экономике, теории вероятностей. Монография написана так, что ее может читать студент, не изучавший ранее линейную алгебру. В книге имеется более 600 задач; многие из них подводят читателя к самостоятельной научной деятельности в области теории матриц. Ценность книги увеличивают приводимые в конце каждой главы обзоры последних оригинальных работ в соответствующей области.

Книга рассчитана на студентов университетов и вузов, на инженеров, физиков, механиков, использующих матричный аппарат. Много привлекательного найдет в ней и математик, интересующийся собственно теорией матриц.

М. Атья — известный тополог и алгебраист, лауреат Филдсовской премии, знаком советскому читателю по русскому переводу его монографии «Лекции по K-теории» («Мир», 1967). «Введение в коммутативную алгебру», написанное им совместно с И. Макдональдом, также основано на курсе лекций.

Эта книга отличается исключительно удачным подбором материала, изложенного современно, лаконично и с предельной ясностью. Разобрав все доказательства и потренировавшись на многочисленных упражнениях, читатель овладеет основами коммутативной алгебры, равно необходимыми специалистам по топологии, теории чисел, функциональному анализу, алгебраической геометрии, теории функций комплексного переменного и многим другим.

Книга, несомненно, представляет интерес для математиков различных специальностей, от студентов до научных работников.

Напомним некоторые необходимые определения.
Определение 1.1. Множество G с бинарной операцией умножения xy называется группой, если

1. умножение ассоциативно, т.е. (xy)z = x(yz) для всех x, y, z ∈ G;
2. существует такой элемент 1 ∈ G, называемый единицей G, что x1 = 1x = x для всех x ∈ G;
3. для любого элемента x ∈ G найдётся такой элемент x⁻¹, называемый обратным к x, что xx⁻¹ = x⁻¹x = 1.

В учебном пособии излагаются все вопросы раздела «Линейная алгебра», предусмотренные программой курса «Высшая математика» для инженерно-технических специальностей вузов.

Содержится большое количество задач для самостоятельного решения. Пособие предназначено для студентов инженерно-технических специальностей вузов.

Из этой книги читатель узнает, как решать алгебраические уравнения 3-й и 4-й степени с одним неизвестным и почему для решения уравнений более высокой степени не существует общих формул (в радикалах).

При этом он познакомится с двумя очень важными разделами современной математики — теорией групп и теорией функций комплексного переменного. Одна из основных целей данной книги — дать возможность читателю попробовать свои силы в математике. Для этого почти весь излагаемый материал представляет в виде определений, примеров и большого числа задач, снабженных указаниями и решениями.

Книга рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся серьезной математикой (начиная со школьников старших классов), и не предъявляет от читателя каких-либо специальных предварительных знаний. Книга может служить также пособием для работы математического кружка.

Книга Уокера является введением в алгебраическую геометрию в той её части, которая связана с кривыми линиями. Две первые главы содержат все сведения из алгебры и проективной геометрии, необходимые для дальнейшего чтения книги, и делают её доступной студенту второго курса университета.

В третьей главе рассматриваются вопросы, связанные с особыми точками и точками пересечения алгебраических кривых. В последнем параграфе этой главы доказывается, что любая алгебраическая кривая квадратическими преобразованиями может быть обращена в кривую, имеющую лишь кратные точки с различными касательными. Четвёртая глава посвящена степенным рядам и их приложениям.

Здесь полностью решается вопрос об определении кратности точек пересечения алгебраических кривых, доказывается в полном объёме теорема Безу о числе точек пересечения двух кривых. Заканчивается эта глава теоремой Нётер о кривой, проходящей через все точки пересечения двух данных кривых.

Пятая глава содержит изложение вопросов, связанных с рациональными и бирациональными преобразованиями. В этой же главе рассматриваются проективные кривые, определяемые дробно-рациональными функциями, теоремы о функциональной группе кривой. Завершается глава темой о круге идей, связанных с бирациональными инвариантами кривой.