SCI Библиотека

Изложен курс лекций по методу функций Ляпунова, прочитанный в Белорусском ордена Трудового Красного Знамени университете им. В. И. Ленина. Основное внимание уделено методам построения функций Ляпунова для нелинейных систем. Приводятся методы оценки области притяжения, оценки решений, времени регулирования, интегральных критериев качества регулирования.

Излагаются достаточные критерии асимптотической устойчивости в целом, критерии абсолютной устойчивости. Приведено большое количество функций Ляпунова для нелинейных систем второго и третьего порядков. Рассмотрен случай, когда нелинейности зависят от двух координат точек фазового пространства. Исследуется также проблема построения векторных функций Ляпунова для сложных систем.

Для понимания материала необходимо знать курс математики в объеме вузовской программы.

Книга может быть рекомендована всем интересующимся конкретными приложениями теории устойчивости.

В этой работе описаны основные принципы, задачи и методы классической механики. Основное внимание уделено математической стороне предмета. Хотя физическая основа рассматриваемых моделей, а также прикладные аспекты изучаемых явлений затронуты в значительно меньшей степени, авторы стремились изложить в первую очередь “рабочий” аппарат классической механики.

Этот аппарат содержится, в основном, в главах 1, 3, 4 и 5. - Глава 1 посвящена основным математическим моделям классической механики, которые обычно используются для описания движения реальных механических систем.

Особое внимание уделено изучению движения со связями, а также вопросам реализации связей в динамике. - Глава 3 обсуждает группы симметрий механических систем и отвечающие законам сохранения. Там же изложены иные аспекты теории инвариантности порядка систем с симметриями, часто использующиеся в приложениях.

Выпускаемая в русском переводе книга Айнса (E. L. Ince) представляет ценный вклад в нашу математическую литературу. Книга состоит из 21 главы и разделена на две части.

• В первой части рассматриваются дифференциальные уравнения в вещественной области,
• Во второй — в комплексной области. Начинается книга с рассмотрения элементарных методов интегрирования, после чего следуют две главы о существовании и природе решений и непрерывных группах преобразований. Далее, после изложения общей теории линейных дифференциальных уравнений, автор переходит к алгебраической теории линейных дифференциальных систем, теории Штурма-Лиувилля и связанной с ними общей теории граничных проблем.

Настоящая книга была начата в 1949 году А. А. Андроновым совместно с Е. А. Леонтович и А. Г. Майером и после смерти А. А. Андронова (в 1952 г.) и А. Г. Майера (в 1951 г.) дописана Е. А. Леонтович и И. И. Гордонoм. Окончательный вариант принадлежит Е. А. Леонтович.

Книга содержит, во-первых, классические результаты по качественной теории дифференциальных уравнений на плоскости, в основном принадлежащие Пуанкаре и Бендиксону, и, во-вторых, некоторые новые результаты, непосредственно по своему содержанию примыкающие к этим классическим результатам (см. гл. VII - XI).

Книга является, с одной стороны, законченным цельным, а с другой, может рассматриваться как реализация первого тома задуманной А. А. Андроновым монографии по динамическим системам второго порядка и их приложениям.

В эту монографию кроме материала, содержащегося в настоящей книге, должны были войти: теория грубых динамических систем, работы А. А. Андронова по теории бифуркаций динамических систем и приложения методов теории бифуркаций к различным задачам теории колебаний.

В настоящий сборник включены работы зарубежных математиков по теории гладких динамических систем. Они дают хорошее представление о развитии этой области математики после 1970 г.

Работы охватывают следующие направления: проблему типичных свойств, связь между динамическими и гомологическими инвариантами гладких отображений, классификацию U-систем, некоторые аспекты теории систем с инвариантами. Обзорные статьи содержат значительную информацию о работах по данной тематике, не вошедших в сборник.

Книга представляет интерес как для математиков — научных работников, занимающихся дифференциальными уравнениями и динамическими системами, так и для студентов старших курсов, аспирантов и преподавателей математических специальностей университетов.

This free edition is made available in the hope that it will be useful as a textbook or reference. Reproduction is permitted for any valid noncommercial educational, mathematical, or scientific purpose. It may be posted on faculty web pages for convenience of student downloads. However, sale or charges for profit beyond reasonable printing costs are prohibited.

A complete instructor’s solution manual is available by email to wtrench@trinity.edu, subject to verification of the requestor’s faculty status.

Эрмит является одним из знаменитейших математиков XIX столетия как по своему творчеству, так и по своей педагогической деятельности. В конце 1860 г. он читал курс Анализа в Политехнической школе. Тогда же был напечатан первый том этого курса, заключающий основы дифференциального и интегрального исчислений; вторая же часть курса, заключающая учение об определенных интегралах, теорию функций комплексного переменного, теорию эллиптических функций и учение об интегрировании дифференциальных уравнений, напечатана не была, имеется лишь в литографированном виде и составляет библиографическую редкость.

В Политехнической школе Эрмит читал курс Анализа в продолжение двух или четырех лет, главная же педагогическая деятельность его (свыше сорока лет) протекала в Парижском университете (Сорбонна).

Долгие годы Эрмит читал здесь свой знаменитый курс, хотя и названный им Cours d’Analyse, но в сущности представляющий курс Теории функций, на основах учения Вейерштраса, с присущую Эрмиту ясностью и оригинальностью изложения.

Пусть P dx + Q dy + R dz = 0 — уравнение, выражающее соотношение между дифференциалами dx, dy и dz, где P, Q и R — какие угодно функции переменных x, y и z. Прежде всего необходимо, чтобы это уравнение получалось из некоторого конечного уравнения между этими переменными путем дифференцирования и деления полученного дифференциала на некоторое количество. Итак, пусть задан некоторый множитель, положим M, после умножения на который выражение: P dx + Q dy + R dz

Общая характеристика «Интегрального исчисления» Леонарда Эйлера дана в предисловии М. Я. Выгодского к первому тому. Там же указаны те основные положения, которыми руководились в своей работе переводчики. Поэтому нет, казалось бы, нужды в отдельном предисловии к настоящему тому. Однако читатель этого издания «Интегрального исчисления» будет пользоваться им не так, как современные автора или читатель девятнадцатого века.

Как правило, он не будет изучать классический труд Эйлера «от доски до доски», а, познакомившись с ним в общих чертах, он будет на выборку, в соответствии со своим интересом, внимательно читать отдельные главы и разделы. Можно быть уверенным, что со временем он перечитает весь материал или почти весь трёхтомный трактат Эйлера, так как это сочинение и сейчас может заразить своим живым, творческим духом, дать пищу для размышлений историку, исследователю, методисту.

Этот вид для размышлений источника заключён, возможно, не в богатстве материала и некотором наборе теоретического материала, а в эмоциональности и в том, что каждое единственное доказательство заключается в понятии.

В 1755 г. Петербургская Академия Наук выпустила в свет одно из самых замечательных произведений математической литературы — «Дифференциальное исчисление», принадлежащее перу члена Петербургской Академии Леонарда Эйлера. Как и большинство научных трудов в эту эпоху, оно было написано на латинском языке. Русский его перевод появляется сейчас впервые. Но это произведение в течение целого столетия училось математиками всего мира; особенное сильное влияние оказало оно на преподавание и развитие математики в России¹).

И хотя в наше время труд Эйлера уже не может служить учебником дифференциального исчисления, он до сих пор не утратил большого интереса. Богатство содержания, изумительное мастерство приёмов, гениальная изобретательность в решении труднейших вопросов, величайшая простота изложения и неисправимые педагогические достоинства — всё это делает «Дифференциальное исчисление» чрезвычайно поучительным и вместе с тем увлекательным для учащегося и для педагога, для математика и для историка науки.